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        弦與管的振動【點擊數:


        在科學史上,正如杠桿原理的誕生要比人類實際使用杠桿晚得很多一樣,有關樂器的聲學理論也要比人類實際上演奏各種樂器要晚很長的歷史時期。

        弦樂器琴、瑟、箏、筑,可能在上古時代已有了雛型,后來他們中的古琴成為中國傳統樂器,一直流傳至今。胡琴類弦樂器產生較晚,大約隋唐時期先在少數民族中盛行。管樂器中篪〔chi遲〕、笛、簫、笙的歷史也非常悠久。其中的笙早在商代已成為演奏樂器,考古發掘的最早的骨笛是新石器時代的器物。然而,從數理角度探討它們的發音機制、確定它們的音高位置的規律卻是在西周中晚期才開始的。

        弦線發音的高低是由其振動頻率決定的,而振動頻率又決定于弦長、線密度和張力。大約公元前6至5世紀,人們已經懂得了音調與弦長的定量關系,這就是聞名的“三分損益法”。這是我國古代物理學史中最早用數學公式總結物理規律的一個例證。方法是:從一個被認定為基音的弦(或管)的長出發,把它分為三等分,再去掉一分(“損一”)或加上一分(“益一”),以此來確定另一音的長度。在數學上,就是將發基音的弦長乘以2/3(損一),或乘以4/3(益一)。依此類推,計算12次,就可以在弦上得到比基音高一倍或低一倍的音(即高八度或低八度的音),也就完成了一個八度中的12個音的計算。從這12個音中選出五個或七個,就構成了五聲音階或七聲音階。這方法的最早記載見于《管子·地員篇》,比希臘畢達哥拉斯(約公元前570-496年)提出的基本相同的方法要早得多。

        古代人除了對音調與弦長成反比關系總結出“三分損益法”的規律外,他們還知道音調隨線密度變化的關系。《韓非子》記述“大弦小聲、小弦大聲”(《韓非子·外儲說》),就是這種關系的定性描述。同時,還研究張力對音調的影響:當粗弦調得太緊因而發音太高時,要在同一樂器上調出某一調式,那么細弦就有繃斷的危險。(《淮南子·泰族訓》)

        以三分損益法計算而得的弦音,自然純正,悅耳動聽。但是,用它計算而得的高八度音,并非是完全的高八度,而是比八度高。在西方,以五度相生法(即乘以2/3)所得的結果也是如此。為了使數學計算能得到一個完全八度音,東西方的音樂家都曾作過種種嘗試,花費了上千年的時間。最后完成這一計算并創造一種新的數學方法的是明代科學家、王子朱載堉。他將八度音程(即2)平均地分為十二等分,在數學上解決了求等比數列的難題。朱載堉稱這種方法為“新法密律”,現在稱之為“十二平均律”。這就是現在的鋼琴、手風琴等鍵盤樂器普遍采用的數理方法。十二平均律是朱載堉在1567—1581年間創建的;而今天在音樂舞臺上占有樂器之王的鋼琴是西方文化的產物。在中國播下的科學種子卻在西方開花結果,這是東西方文化交流中至今仍有重大影響的文明之光。

        在管樂器中,管內空氣柱的振動與弦線振動有本質的不同。管振動是縱波,或空氣的疏密波;弦振動是橫波。(圖3-1)古代人常以管作為定音器,以12支長度不同的竹管(或銅管)來標定以三分損益法計算而得的八度內12個音,這12支竹管就稱為律管。在歷史上,曾經有不少人誤以為,管長與弦長相等,它們的發音音高也一致。事實上,由于受慣性影響,管內空氣柱的振動要延伸到管外(見圖3-1),所以要使管振動與弦振動的音高一致,管長就不能等同于弦長,而是要比弦長稍微短一些;或者使管內徑縮小。這種校正管樂器發音的方法在中國古代都曾被討論過。特別是朱載堉成功地創造了縮小管內徑的校正方法,他所得到的律管管內徑的系統的校正公式及校正數據,直到19世紀還受到西方音樂家和聲學家的極大推崇。


        圖3-1 弦與管的振動模式

        (1)兩端固定的弦振動;(2)閉口管內空氣柱振動;(3)開口管內空氣柱振動。


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